Wizualizacja wielu wymiarów

Zastanawiałem się kiedyś nad sposobem na wizualizację przestrzeni o ilości wymiarów większej niż 3. Doszedłem do wniosku, że warto jest na początek przeanalizować jak 2D powstaje z 1D i później jak z 2D powstaje 3D.

Jednak przed rozpoczęciem takich rozmyślań warto zwrócić uwagę na fakt że przestrzeń jednowymiarowa składa się z punktów. Jest to dość kluczowe spostrzeżenie w moim rozumowaniu 😉

No więc jak powstaje 2D z 1D?  Mamy sobie jedną oś i krzyżujemy ją z drugą osią pod kątem prostym. Czyli współrzędnej x, która w jednym wymiarze określała konkretnie punkt, teraz odpowiada nieskończenie wiele punktów. Z tego też powodu dodaje się drugą współrzędną określającą „głębokość”.

Teraz 2D -> 3D. Dodajemy Jeszcze jedną oś pod kątem prostym i otrzymujemy znów mamy problem ponieważ współrzędnym x, y znów odpowiada nieskończenie wiele punktów. Mamy więc już 3 współrzędne: x, y, z

Ok, i co teraz? Przestrzeń 3D to max jaki potrafimy sobie wyobrazić (tak samo jak punkt na prostej nie potrafi sobie wyobrazić 2D, a dla punktu na płaszczyźnie niepojęta jest przestrzeń 3D). Doszliśmy więc do punktu krytycznego ponieważ nie możemy już dołożyć sobie żadnej osi prostopadłej.

Ale mówiłem wcześniej coś o tym, że współrzędnym z przestrzeni o 1 wymiar mniejszej odpowiada nieskończona ilość punktów. Trzeba więc iść tym tropem. A gdyby tak przyjąć, że przestrzeń jest punktem?

Z punktów najłatwiej zbudować prostą, ale jeśli punktem jest przestrzeń to można powiedzieć, że mamy prostą przestrzeni ^^. Po dołożeniu jeszcze jednej zmiennej – określającej położenie danego punktu (przestrzeni) na tej prostej można sobie. Dodawanie jej na końcu byłoby dość nieintuicyjne. Nazwijmy ją w. Mamy więc już 4 współrzędne: w, x, y, z. Współrzędna w określa połozenie przestrzeni na prostej (wtf?! :P), a pozostałe współrzędne określają w znany już sposób położenie punktu w przestrzeni 3D.

Najtrudniejsze już właściwie za nami. Jest jakiś sposób. Jak dodamy jeszcze jeden wymiar to będziemy mieli do czynienia z płaszczyzną punktów, z których każdy jest jakąś przestrzenią. Po jeszcze jednym wymiarze mamy przestrzeń nieskończonej ilości przestrzeni.

Później można postąpić analogicznie jak poprzednio – przyjąć że przestrzeń 6 wymiarowa jest punktem i stworzyć z nich prostą i mamy już 7 wymiarów.

Czyli dla n wymiarów (przy założeniu że n>3) będziemy początkowo musieli pokazać

• prostą przestrzeni, jeżeli n mod 3 = 1
• płaszczyznę przestrzeni, jeżeli n mod 3 = 2
• przestrzeń przestrzeni, jeżeli n mod 3 = 0

Oczywiście, nic nie stoi na przeszkodzie aby już płaszczyznę uznać za punkt i stworzyć prostą z punktów będących płaszczyznami, a później płaszczyznę z płaszczyzn.  Takie podejście jest bardziej „życiowe” dla użytkowników oprogramowania ponieważ dość łatwo jest wybrać myszką konkretny punkt na ekranie.

Czyli zakładając że użytkownik ma podać współrzędne punktu w 5 wymiarach, na początku wyświetlimy mu prostą. Po tym jak sobie kliknie współrzędną x1 należy mu wyświetlić płaszczyznę odpowiadającą współrzędnej x1 na prostej. Kiedy użytkownik znów wybierze sobie punkt (tym razem już na płaszczyźnie) mamy mamy współrzędne x1, x2, x3 tak więc znów trzeba wyświetlić jakąś płaszczyznę z której użytkownik wybiera sobie 2 współrzędne i tym oto sposobem mamy już 5 zmiennych oddających położenie w przestrzeni 5 wymiarowej.

Oczywiście zdaję sobie sprawę, że to i tak się nikomu do niczego nie przyda ( bo niby dlaczego ktoś miałby wybierać współrzędne punktu z 5 wymiarów!?! ) ale jest to jakiś sposób lepszy lub gorszy na przedstawienie wielu wymiarów w sposób dość przyjazny dla człowieka 🙂